ランダウの記法

Posted on May 30, 2017 by @naca_nyan

定義

x \to 0 を考えるとき、 f(x) = o(g(x)) は、 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 を意味する。

f(x)x \to 0 での小さくなり方(0 への近づくはやさ)が g(x) よりもはやい、という意味である。

以下、特に断らない限り x \to 0 を考える。

  1. \displaystyle x^2 = o(x) \quad\quad \because \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0
  2. \displaystyle 4x^3 + 5x^4 = o(x^2) \quad\quad \because \lim_{x \to 0} \frac{4x^3 + 5x^4}{x^2} = \lim_{x \to 0} (4x + 5x^2) = 0
  3. \displaystyle x = o(e ^x) \quad\quad \because \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to 0} xe^{-x}= 0

f(x) = h(x) + o(g(x)) と書いたときは f(x) - h(x) = o(g(x)) と解釈する。

  1. \displaystyle \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)
  2. \displaystyle e^x = 1 + x + \frac {x^{2}}{2!}+\frac {x^{3}}{3!}+o(x^3)

注意

すこし不思議に思うかもしれないが、 x = o(x) とはならない。実際 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \ne 0 である。同様に、f(x) = x + o(x)f(x) = o(x) は区別される。

性質

(1)

f(x) = o(g(x))のとき、任意の定数kに対して\displaystyle kf(x) = o(g(x))である。 \displaystyle \because \lim_{x \to 0} \frac{kf(x)}{g(x)} = k \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0

(2)

f(x) = o(x^n)のとき、\displaystyle x^mf(x) = o(x^{m+n})である。 \displaystyle \because \lim_{x \to 0} \frac{x^mf(x)}{x^{m+n}} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0

(3)

f(x) = o(x^m), g(x) = o(x^n)のとき、\displaystyle f(x)g(x) = o(x^{m+n})である。 \displaystyle \because \lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{x^{m+n}} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^m}\frac{g(x)}{x^n} = 0

(4)

m \gt n, f(x) = o(x^n)のとき、\displaystyle x^m + f(x) = o(x^{n})である。 \displaystyle \because \lim_{x \to 0} \frac{x^m + f(x)}{x^n} = \lim_{x \to 0} \left(x^{m-n} + \frac{f(x)}{x^n}\right) = 0

(5)

m \ge n, f(x) = o(x^m), g(x) = o(x^n)のとき、\displaystyle f(x) + g(x) = o(x^{n})である。 \displaystyle \because \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x)}{x^n} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x)}{x^n} + \frac{g(x)}{x^n}\right) = 0

略記

以上の性質を単に以下のように書く。

  1. k \cdot o(g(x)) = o(g(x)) (任意の定数kに対して)
  2. x^mo(x^n) = o(x^{m+n})
  3. o(x^m)o(x^n) = o(x^{m+n})
  4. x^m + o(x^n) = o(x^n) (ただし m \gt n
  5. o(x^m) + o(x^n) = o(x^n) (ただし m \ge n

さらに注意

定数倍でk = -1を考えると、- o(x^m) = -1 \cdot o(x^m) = o(x^m)であるので、 \displaystyle \begin{aligned} o(x^m) - o(x^m) &= o(x^m) + o(x^m) \\ &= o(x^m) \end{aligned} となる。最後の式変形では性質(5)をつかった。o(x^m) - o(x^m) = 0としないよう注意すること。

計算例

f(x) = 1 + x + o(x), g(x) = 1 - 2x + o(x)のとき、 \displaystyle \begin{aligned} xf(x) - g(x) &= x(1 + x + o(x)) - (1 - 2x + o(x)) \\ &= x + x^2 + xo(x) - 1 + 2x + o(x) \\ &= -1 + 3x + x^2 + o(x^2) + o(x) \\ &= -1 + 3x + o(x) \end{aligned} と計算できる。実際、 \displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - g(x) - (-1 + 3x)}{x} &= \lim_{x \to 0}\left(\frac{xf(x) - x}{x} - \frac{g(x) - (1 - 2x)}{x}\right) \\ &= \lim_{x \to 0}\left(\frac{xf(x) - x}{x} - x\right) - \lim_{x \to 0}\frac{g(x) - (1 - 2x)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{xf(x) - x - x^2}{x} \\ &= \lim_{x \to 0}x\cdot\frac{f(x) - (1 + x)}{x} \\ &= 0 \end{aligned} となって優勝する。

まとめ

\limの計算はたいがい厳しいので、ランダウの記号が使えると便利。 だが等号が普通の意味ではなく、間違いやすいので注意して使おう。