数理論理学 (1)

Posted on May 26, 2017 by teo

高校までの知識しかない自分が先輩の手を借りながら数理論理学を勉強していきたいと思います。今後の自分に、こういう考え方だというメモとして書こうと思っていますので、参考にさせていただいた文献の中で個人的に理解に時間がかかった部分を書いていきます。 参考に見ていただけたり、間違った指摘をしていただけると幸です

概要(少し勉強して思った感想)

高校までの間では 「1」 や「+」 を 「1」 、「和」といった解釈を行っていましたが、数理論理学では前提として記号に解釈を与えて考えていったり、数字自身に数の意味を持たせて考えていったりと、記号を抽象化してから進めていく学問であると思いました。

今回理解したこと

言語Lとは、述語記号列、関数記号列、定数記号列の組 \displaystyle (P_i:i \in I),(F_j:j \in J),(C_k:k \in K) のことである。 また、P_i,F_jには、各々自然数nが対応しており、この時のP_i,F_jをそれぞれn-変数という。

例えば、述語記号は「偶数である」「6の約数である」といった述語を表し、関数記号は「+」「-」「n^2」といった記号を表し、定数記号は実際の数字を表している記号の事を指していて、n-変数とは、例えば「\in」は「A \in B」と書き、A,Bの二つの集合を使っているため2変数述語記号、「+」は「a+b」と書き、a,bの二つの自由変数を使っているため、2変数関数記号と解釈できます。

(1)Pn-変数述語記号、t_1, \cdots, t_nが項の時 \displaystyle P \, t_1 \, \cdots \, t_n は論理式である。 (2)A,Bが論理式の時 \displaystyle \lnot A,\lor \, A \, B, \land \, A \, B,\rightarrow \, A\, B は論理式である。 (3)Aが論理式で、aは自由変数とし、束縛変数xAの中に現れないとき、 \displaystyle \forall A[_x^a] , \exists xA[_x^a] は論理式である。            (p,10)

(1)について、P\perpとして、「2つの数は互いに素である。」の解釈を持たせた場合、\perpは2-変数述語記号となり、\perp abは論理式であるといえます。(これはポーランド記法と呼ばれ、普段見かける"a \perp b"中置記法と呼ばれる。)

まとめ

記号を文字として眺める側面と、記号の意味を用いて命題を考える側面が必要であると考えればうまくいくと思います。

参考図書